UNIDADES DE TEMPO, COMPRIMENTO E MASSA

Unidades de Tempo

 

Sabemos que  foi definido como unidade padrão para o tempo, conforme o Sistema Internacional de Medidas (S.I), o segundo, cujo símbolo é o $``s"$ minúsculo. No entanto, há diversas situações em que necessário usar outras unidades que não a padrão do S.I, como: a hora, minuto, dia, mês, ano, etc. Como as mais usuais são o minuto, a hora e o dia, segue uma tabela com as suas conversões para o padrão. Vejamos:

Nome	Símbolo	Valor em Unidade S.I
minuto	$min$	$1 min ~=~60 s$
hora	$h$	$1 h =60~ min=3600~ s$
dia	$d$	$1~ dia=24~ h=1440~ min=86400 ~s$

Se surgirem outras medidas pouco usuais, basta raciocinar da mesma forma que exposto na tabela, e fazer a conversão para a unidade padrão.

Unidades de Comprimento

 

A unidade padrão para comprimento, no S.I, é o metro. No entanto, sabemos que existem vários múltiplos e submúltiplos  do metro, como o centímetro, quilometro, decímetro,etc. No S.I, chamamos esses múltiplos e submúltiplos de prefixos. Se conhecemos os principais prefixos do S.I, a conversão entre a unidade padrão, ou vice-versa, se torna muito fácil e simples.

Por exemplo:

$ 1cm ~=~ 1~   \underbrace{centi}_{c}~ \underbrace{metro}_{m}~= ~10^{-2}m~=~\frac{1}{10^2}m~=~0,01 m$

$ 1mm ~=~ 1~   \underbrace{mili}_{m}~ \underbrace{metro}_{m}~= ~10^{-3}m~=~\frac{1}{10^3}m~=~0,001 m$

$ 1 \mu m ~=~ 1~   \underbrace{micro}_{\mu}~ \underbrace{metro}_{m}~= ~10^{-6}m~=~\frac{1}{10^6}m~=~0,000001 m$

$ 1 km ~=~ 1~   \underbrace{quilo}_{k}~ \underbrace{metro}_{m}~= ~10^{3}m~=~1000 m$

Com base nos exemplos acima, podemos fazer as diversas conversões necessárias. Basta prestar atenção aos símbolos dos prefixos e seus valores correspondentes.

Por enquanto, estamos tratando das conversões para comprimento, porém, também é necessário não haver dúvidas quanto à conversão de medidas de área e de volume. Nestes casos, o uso dos prefixos nos ajudarão muito para uma conversão correta e sem muito trabalho braçal.

Unidades de Massa

O quilograma é a única unidade de base do SI que possui um prefixo (o quilo). 

$$ 1kg~=~ 1~ \underbrace{quilo}_{k}~\underbrace{grama}_{g}~=~ 10^3 g$$ 

por este motivo, os múltiplos e submúltiplos da unidade de massa são formados acrescentando-se os prefixos à palavra grama, e não à palavra quilograma. Vejamos um exemplo que reforça o que acabamos de afirmar.

Sabemos que $10^{-9}$ corresponde ao prefixo "nano". Assim, você pode ficar tentado a escrever:

$$ 10^{-9}kg~=~ 1~ nanoquilograma~=~ 1nkg$$

entretanto, isso é totalmente errado. De acordo com as regras do SI, não se usam simultaneamente dois prefixos. Nesse caso e em casos similares, se quisermos usar prefixo, o correto seria:

$$ 10^{-9}kg~=~ 10^{-9} \underbrace{k}_{10^3}~g~=~ 10^{-9} \cdot \underbrace{10^3}_{k} ~g~=~ \underbrace{10^{-6}}_{\mu} ~g~=~1 \mu g~=~1~micrograma$$

Lembre-se sempre: "NÃO SE USA DOIS PREFIXOS AO MESMO TEMPO PARA UMA GRANDEZA QUALQUER".

Se ainda paira alguma dúvida, vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1

Faça as conversões, conforme se pede.

a) $9 ~nm$ para $m$

b) $5~m$ para $\mu m$

c) $15 ~mm$ para $km$



Resolução

Conforme já mencionado, é importante memorizar os principais prefixos. 

a) $9~~ nm$ para $m$

Sabemos que $``n"$ é o prefixo $``nano"$, cujo valor em potências de base 10 é  $10^{-9}$. Como o exercício pede para passar de $nano$ para $metro$, basta substituirmos o valor de $``n"$. Vejamos:

$$9~ nm~=~9 \cdot 10^{-9}~ m ~=~ \frac {9}{10^{9}}~m ~=~0,000000009 ~m$$

Note que o resultado acima foi dado em decimais, porém, não é necessário dar o resultado assim, a menos que o exercício peça. Entretanto, vale ressaltar que para que você fique fera neste assunto, é interessante resolver todos desta maneira.  A manipulação de transformar decimais em potência de 10 , ou vice-versa, é extremamente importante para resolução de alguns exercícios.

b) $5~m$ para $\mu m$

Neste item, temos que passar do SI para um prefixo. Assim:

$$5 \cdot \{10^6 \cdot 10^{-6}\}~m ~=~ 5 \cdot \{10^6 \cdot  \underbrace{10^{-6}}_{\mu}\}~m~=~ 5 \cdot 10^6 ~\mu m ~=~5000000 ~ \mu m $$

Não se esqueça que o "truque" aqui é multiplicar o 5 por "1". Lembrando que o número 1 pode ser escrito de várias formas e usaremos a que é necessária para a conversão, neste caso, $\{10^6 \cdot 10^{-6}\}$.

c) $15 ~mm$ para $km$

Neste item, note que temos que sair de um submúltiplo para um múltiplo da unidade padrão do SI. Usamos então, ao mesmo tempo, os dois métodos usados em "a" e "b". Veja como fica:

$$ 15~mm~=~15 \cdot 10^{-3}~m~=~15 \cdot 10^{-3}\{10^3 \cdot 10^{-3}\}~m~=~15 \cdot 10^{-3}\cdot 10^{-3} \cdot 10^3 ~m$$
Veja que a ordem dos produtos não altera os fatores. Agora fazemos os últimos ajustes e chegamos à solução do problema.

$$15 \cdot 10^{-3}\cdot 10^{-3} \cdot 10^3 ~m~=~15 \cdot 10^{-6} \cdot \underbrace{10^3}_{k}~m~=~15 \cdot 10^{-6}~km$$

AS UNIDADES DE GRANDEZA

A Padronização das Unidades

       A partir do século XVII as leis da Física passaram a ser descritas de forma matemática, por meio de equações envolvendo grandezas como: velocidade; força, energia, corrente elétrica, etc. Desse modo, saber manipular o processo de medida dessas grandezas físicas passa a ter uma enorme importância.

      Até a época da Revolução Francesa ($1789$ – $1799$), não havia uniformidade nas unidades de medida usadas pelos diversos países do mundo. Além dessa falta de uniformidade, outras características como a imprecisão e a dificuldade de reprodução causavam situações de transtorno nas relações comerciais internas, tanto quanto nas externas. A solução para tal problema seria, então, uniformizar as unidades de medidas.

      Passados quase dois séculos de esforços entre vários países, foi proposto no ano de $1960$, durante o 11.ª Conferência Geral de Pesos e medidas o Sistema Internacional de Unidades, cuja abreviatura internacional é SI. As unidades SI foram divididas em três grupos: unidades de base; unidades suplementares e unidades derivadas.

      Para nosso estudo usaremos apenas três unidades de base do SI e, por hora, não nos preocuparemos com as demais. São elas: o metro “m” (para comprimento); o quilograma “kg” (para massa); o segundo “s” (para o tempo).

      Vale lembrar que, nos dias de hoje, a adesão ao SI é quase total. Apenas três ou quatro países ainda usam o sistema inglês, mesmo assim, usam o SI nos trabalhos científicos como, por exemplo, os Estados Unidos.

A Notação Exponencial

      Em Física, podemos trabalhar com números muito grandes ou muito pequenos. Por exemplo, a distância "$d$" da Terra ao Sol é aproximadamente igual a $150$ bilhões de metros:

$$ d \simeq 150~000~000 ~000~m$$

enquanto o raio "$r$" de um átomo de hidrogênio é de aproximadamente:

$$ r \simeq 0,000~000~000~05~m $$

      Para evitar tantos zeros, escrevemos esses números utilizando as potências de base $10$. Dessa forma, esses valores podem ser reescritos como:

$$ d \simeq 15 \overbrace{0~000~000~000}^{10~zeros} ~m~=~15 \cdot 10^{10} ~m~=~(1,5 \cdot 10) \cdot 10^{10}~m~=~1,5 \cdot 10^{11} ~m$$

$$ r \simeq 0, \underbrace{000~000~000~05}_{11 ~casas~ após~ a ~vírgula}~m~=~\frac{5}{100~000~000~000}m~=~\frac{5}{10^{11}}m~=~5 \cdot 10^{-11}m $$

      Ao resolvermos problemas ou exercícios de Física, usaremos a notação chamada de "Notação Exponencial" ou "Notação Científica", cuja representação é dada por um número compreendido entre $1$ e $10$ multiplicado por uma potência de base $10$. Vejamos a regra:

$$x \cdot 10^n ~~~(onde ~~~1 \leq x <10 ~~~~ \mathrm{e} ~~~~n ~ \in ~\mathbb{Z})$$

      Como vimos anteriormente, podemos representar um número qualquer em notação científica, bastando, para isso, manipular o "andar" da vírgula para direita ou esquerda e utilizar os expoentes adequados na base $10$.

Prefixos do Sistema Internacional de Unidades (S.I)

      No SI foram adotados prefixos para representar algumas potências de base 10. Vejamos na tabela abaixo os mais importantes em nosso estudo inicial.

Fator	Prefixo	Símbolo	Fator	Prefixo	Símbolo
$10^{-12}$	pico	p	$10^{1}$	deca	da
$10^{-9}$	nano	n	$10^{2}$	hecto	h
$10^{-6}$	micro	$\mu$	$10^{3}$	quilo	k
$10^{-3}$	mili	m	$10^{6}$	mega	M
$10^{-2}$	centi	c	$10^{9}$	giga	G
$10^{-1}$	deci	d	$10^{12}$	tera	T

      

      Por razões históricas o quilograma é a única unidade de base do SI que já vem com um prefixo, que é o quilo:

$$1~kg~=~\underbrace{quilo}_{10^3}grama~=~10^{3} gramas$$

Exemplo 1

Escreva as seguintes grandezas em notação científica.


a) $789$ s

b) $0,036$ cm

d) $12 000 000$ mg

e) $0,0000258$ km


Resolução do exemplo 1

Quando a vírgula não aparece no número, significa que ela se localiza no lado direito do último algarismo. Sendo assim, temos:

a) $789$ s → $789,0$ s → $7,890 \cdot 10^2$ s

     Note que para evidenciar a vírgula no final do número, acrescentamos um "zero" depois dela, porém, isso não altera o valor do nosso número. Em seguida, deslocamos a vírgula duas casas para a esquerda e multiplicamos esse número pela base 10 elevada ao expoente 2, que foi o quanto a vírgula deslocou. Atenção!! Ao passarmos um número qualquer para notação científica o seu valor não é alterado, somente a forma de escrevê-lo.

b) $0,036$ cm → $003,6 \cdot 10^{-2}$ cm → $3,6 \cdot 10^{-2}$ cm

      Perceba que na alternativa "a" deslocamos a vírgula duas casas para a esquerda e o expoente era positivo, ou seja, tínhamos $10^2$. Já na alternativa "b" veja que deslocamos também duas casas, só que no sentido contrário da letra "a", ou seja, no sentido da esquerda para direita, por isso, o expoente assume o sinal negativo.

d) $12 000 000$ mg → $1,2 \cdot 10^7$ mg

e) $0,0000258$ km → $2,58 \cdot 10^{-5}$ km


Exemplo 2

Faça as seguintes conversões:

a) 2m em cm

b) 3mm em m

c) 450 g em kg

d) 95mL em L

e) Quantos segundos há em 8,7 minutos?


Resolução do exemplo 2

      Podemos fazer as conversões que o exercício pede usando uma simples regra de três, porém, existe um método mais simples que é o que se usa os prefixos do SI. Resolveremos o primeiro item das duas maneiras para mostrar qual é o mais simples. Vejamos:

a) 2m em cm

Sabendo que $1~m$ corresponde a $100~cm$, podemos montar a seguinte regra de três

$$ \frac{1~m}{2~m}=\frac{100~cm}{x}$$

multiplicamos cruzado, isolando a variável $x$ e resolvemos as operações. Então,

$$ x \cdot (1~m)~=~(2~m) \cdot (100~cm)~~ \rightarrow~~x~=~\frac{(2~m)\cdot(100~cm)}{(1~m)}~=~200~cm$$

      Agora vamos ver o quanto é mais simples usar o prefixo. Lembrando que "c" é o centi, e equivale a $10^{-2}$ . O truque consiste em pegar o número $2~m$ e multiplicar por $1$. Lembrando que podemos escrever o número $1$ de diversas formas e escolheremos como $(10^{-2} \cdot 10^2)$, já que $10^{-2}$ é o prefixo que precisamos. Vejamos:

$$2~m~=~2 \cdot (10^2 \cdot 10^{-2})~m~~ \rightarrow~~2 \cdot 10^2~cm~=~200~cm$$

      Lembre-se: todas as vezes que tiver que passar uma grandeza que está no SI para uma derivada, basta usar esse truque. Se a grandeza for derivada e  você precisa passar para o SI, o procedimento é ainda mais simples. Vejamos, na próxima alternativa, como fazê-lo.

 b) 3mm em m

      Sabendo que $m$ é o prefixo mili e corresponde a $10^{-3}$, basta substituirmos  $m$ por $10^{-3}$. Fica assim:

$$3~mm~=~3 \cdot 10^{-3}~m~=~\frac{3}{1000}~m~=~0,003~m$$